Квадратные числа

Квадратные числа, или точные (полные) квадраты — это натуральные числа, которые можно представить в виде квадратов натуральных чисел. Это определение можно заменить на равносильное: число называется квадратным, если значение квадратного корня из него является целым.

Первые квадратные числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, ...

Геометрически квадратное число может быть представлено в виде квадрата со стороной, составленной из целого количества точек.

12 = 1	22 = 4	32 = 9	42 = 16	52 = 25

Таблица квадратов

Чтобы найти квадрат числа от 0 до 99, можно воспользоваться таблицей квадратов, в которой по вертикали указан первый разряд числа (или его отсутствие), а по горизонтали второй разряд:

	_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
—	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Следующее Квадратное число по счёту сотое — 10000

Свойства квадратных чисел

• Все точные квадраты большие 1 — составные числа
• Произведение точных квадратов является точным квадратом:
  m² • n² = (mn)²
• Квадрат любого натурального числа n равен сумме первых n нечётных чисел:
  1² = 1,
  2² = 4 = 1 + 3,
  3² = 9 = 1 + 3 + 5,
  4² = 16 = 1 + 3 + 5 + 7
  и так далее
• Последовательность, составленная из разностей соседних квадратов, является арифметической прогрессией с разностью 2:
  2² - 1² = 3,
  3² - 2² = 5,
  4² - 3² = 7
  и так далее
• Все Квадратные Числа Это степенные Числа
• Треугольное Число + Предыдущее Треугольное Число = Квадратное Число
• Есть квадраты квадратных чисел: 1 16 81 256 625 и так далее
• Все квадратные Числа всегда лучшие в своих этапах и только квадратные Числа могут быть Лучшими в своих Этапах

Последняя Цифра в Системах Исчисления

Здесь Список Цифр для каждой из Маленьких систем Исчисления На которые Могут Заканчиваться Квадратные Числа:

• Двоичная Система Исчисления — Единственная Система Исчисления в которой Квадратные Числа могут Заканчиваться На любую Цифру
• Троичная Система Исчисления — 0 1
• Четверичная Система Исчисления — 0 1
• Пятеричная Система Исчисления — 0 1 4
• Шестеричная Система Исчисления — 0 1 4 3
• Семеричная Система Исчисления — 0 1 4 2
• Восьмеричная Система Исчисления — 0 1 4
• Девятеричная Система Исчисления — 0 1 4 7
• Десятичная Система Исчисления — 0 1 4 9 6 5
• Одиннадцатеричная Система Исчисления — 0 1 4 9 5 3
• Двенадцатеричная Система Исчисления — 0 1 4 9
• 13 Система Исчисления — 0 1 4 9 3 12 10
• 14 Система Исчисления — 0 1 4 9 2 11 8 7
• 15 Система Исчисления — 0 1 4 9 10 6
• 16 Система Исчисления — 0 1 4 9

Квадратные Числа могут заканчиваться в любой системе исчисления на Любые Квадратные Цифры

Системы Исчисления в которых Помимо Квадратных Цифр Квадратные Числа не могут оканчиваться на Другие Цифры: 2 3 4 5 8 12 16 (Неизвестно что идёт Дальше и вообще идёт ли дальше)

Цепи Квадратных Чисел

Перестановки Натурального Ряда в которых каждые 2 соседних числа в Сумме Дают Квадратное Число. Первая такая цепь возможна при 15 чисел а также при 16 и 17. При 18 19 20 21 22 чисел ни одну цепь не составить. При 23 можно составить цепи но с 24 числами снова нет. Но начиная с 25 Цепи всегда можно будет составить а начиная с 32 некоторые Цепи оказываются Круговыми.